Inégalité de Markov

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Intuition

Intuition derrière l'inégalité de Markov :
\(\lim_{t\to+\infty}P(X\geqslant t)=0\) et "plus \(X\) a de moments, plus \(P(X\geqslant t)\) décroit vite vers \(0\)"

(Moment)

Théorème

Inégalité de Markov :
Si \(X\) est une v.a. Discrète positive intégrable, $$\forall t\gt 0,\qquad {{P(X\geqslant t)}}\leqslant{{\frac{E(X)}t}}$$

Consigne: Montrer que si \(X\) est une v.a. Discrète positive intégrable, $$\forall t\gt 0,\qquad {{P(X\geqslant t)}}\leqslant{{\frac{E(X)}t}}$$ (inégalité de Markov)

$$E(X)=\underset{x_k\geqslant t}{\sum_{x_k\in X(\Omega)}}\underbrace{x_k}_{\geqslant t}P(X=x_k)+\underbrace{\underset{x_k\lt t}{\sum_{x_k\in X(\Omega)}}x_kP(X=x_k)}_{\geqslant0}\geqslant t\underbrace{\underset{x_k\geqslant t}{\sum_{x_k\in X(\Omega)}} P(X=x_k)}_{P(X\geqslant t)}$$

Inégalité de Markov :
Si \(X\) a un moment d'ordre \(r\), $$\forall t\gt 0,\qquad {{P(\lvert X\rvert\geqslant t)}}\leqslant{{\frac{E(\lvert X\rvert^r)}{t^r} }}$$

Consigne: Montrer que si \(X\) a un moment d'ordre \(r\), $$\forall t\gt 0,\qquad P(\lvert X\rvert\geqslant t)\leqslant\frac{E(\lvert X\rvert^r)}{t^r}$$ (inégalité de Markov)

Se ramener au cas \(r=1\)

Si \(\lvert X\rvert^r\) est intégrable, $$P(\lvert X\rvert\geqslant t)=P(\lvert X\rvert^r\geqslant t^r)\leqslant\frac{E(\lvert X\rvert^r)}{t^r}$$ d'après l'inégalité de Markov avec \(r=1\)

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